Первая теорема Гёделя о неполноте доказывает, что для формальных систем, содержащих некоторый минимум арифметики, всегда найдется такая формула А, что ни она, ни ее отрицание не являются теоремой в этой системе при условии ее непротиворечивости. На базе этой теоремы написано много работ, в том числе научных, а большая популярность всегда приводит к обобщениям и домыслам, которые построены на упрощениях, и уже никакого отношения к изначальной теореме не имеют, или приводят к выводам, которые противоречат результатам автора.
Начнем с того, что есть два больших лагеря ученых — механисты и анти-механисты, они занимают разные позиции, но принимают силу и универсальность ограничительных теорем Гёделя. Сложность всей ситуации заключается в том, что они приходят к разным выводам. Для механистов основные выводы заключаться в том, что для них данная теорема означает ограниченность вычислительных способностей человека. Для анти-механистов эти способности намного «сложнее» алгоритмизированных машин, и они аппелируют к тому, что человек оперирует абстрактными объектами.
Сам же Гёдель в своей лекции 1951 года делает следующей вывод в виде нестрогой дизъюнкции: «Разум не есть машина Тюринга» или «существуют определенные неразрешимые математические диофантовые задачи» [1].
Когда я встречаю интерпретации естественного языка или картины мира как формальной системы, то у меня всегда возникает вопрос: а вы можете калькулировать естественный язык? Или сплюсовать части картины мира? Или естественный язык как и картина мира — непротиворечивы сами по себе? Или кто-то говорит об их полноте? Когда интерпретаторы начинают переносить выводы с узкой специфической области на человека в целом, всегда начинаются проблемы. Например, в математических доказательствах есть понятие сильных и богатых языков (названия условные). Сильные языки хорошо доказывают что-то в своем узком направлении, но ими можно описать/доказать ограниченное количество моментов в узкой тематике. Такими языками зачастую являются формальные системы. Богатые языки — это языки, которыми можно описать большое количество феноменов, но в них возникают вопросы к доказуемости.
Как пишет Лукас в своей статье [2], формальная система не может ухватить истинность формулировки, хотя человек может — поскольку человек умеет обращаться с абстрактными объектами в отличие от алгоритма. Поэтому, когда условный гуру говорит о неполноте системы, это должно наталкивать на мысль: а не занимается ли он попросту манипуляцией? Ведь человек может ухватить то, что не поддается формализации (по крайней мере на первых этапах). В теореме же речь идет именно о доказуемости и выводимости из основ формальных систем, которые сами по себе строгие и непротиворечивые, и речь конечно же идет о доказуемости в строгом смысле, которая никак не связано с аргументацией в публичной сфере.
Примечания:
- Gödel, Kurt. Collected Works, volume 3: Unpublished Essays and Lectures, edited by Solomon Feferman et al. Oxford University Press, 1995. P. 310.
- Lucas, J.R. Minds, machines, and Godel // Philosophy. 1961. Vol. 36 P. 112-137.
Картина: “Галереия” Гобелинуса Региуса (2013; источник).